Решение задач оптимизации в среде MS Excel Год издания: 2005 Автор: Леоненков А. В. Издательство: БХВ-Петербург ISBN: 5-94157-503-3 Язык: Русский Формат: PDF Качество: Издательский макет или текст (eBook) Количество страниц: 701 Описание: Рассматриваются методы и алгоритмы практического решения типовых задач оптимизации всех основных классов. Подробно описываются теоретические основы и практические особенности постановки и решения соответствующих задач. Для типовых задач оптимизации предлагаются несколько способов их решения и приводятся рекомендации по выбору наиболее эффективного из них. Представлены пошаговые инструкции по выполнению практических действий, связанных с подготовкой исходных данных и последующего решения прикладных задач оптимизации всех основных классов. Содержится доступное введение в программирование на языке VBA и приводятся листинги программ, расширяющих функциональность MS Excel.
Примеры страниц
Оглавление
Предисловие ............................................................................................ 1 Струкrура книги ....................................................................................... 3 Рекомендации по изучению книги .............................................................. 5 Благодарности .......................................................................................... 5 ЧАСТЬ 1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ...................................................................... 7 Глава 1. Общая характеристика задач оптимизации .................................... 9 1.1. Природа и особенности задач оптимизации .......................................... 9 1.2. Примеры типовых задач оптимизации ................................................. 14 1.2.1. Задача о коробке максимального объема .......................................... 14 1.2.2. Задача о пожарном ведре ................................................................ 15 1.2.3. Задача об оптимальной диете .......................................................... 16 1.2.4. Транспортная задача ...................................................................... 16 1.2.5. Задача о минимальном пути в графе ................................................ 18 1.2.6. Задача коммивояжера ..................................................................... 19 1.2. 7. Задача о рюкзаке ........................................................................... 20 1.2.8. Задача о назначении ....................................................................... 21 1.2.9. Задача о минимальном покрывающем дереве в графе ........................ 23 1.2.1 О. Задача о максимальном потоке в сети ........................................... 24 1.2.11. Задача водопроводчика ................................................................. 26 1.3. Методология системного моделирования ............................................. 27 1.4. Процесс постановки и решения задач оптимизации ............................. 32 1.4.1. Анализ проблемной ситуации .......................................................... 33 1.4.2. Построение математической модели ................................................ 34 1.4.3. Анализ модели .............................................................................. 35 1.4.4. Выбор метода и средства решения ................................................. 36 1.4.5. Выполнение численных расчетов ................................................... 38 1.4.6. Анализ результатов расчетов ......................................................... 38 1.4.7. Применение результатов расчетов .................................................. 39 1.4.8. Коррекция и доработка модели ....................................................... 40 1.5. Математическая модель задач оптимизации ........................................ 40 1.5 .1. Понятие математической модели и ее основные элементы ................ 41 1.5 .2. Характеристика переменных .......................................................... 41 1.5.3. Характеристика ограничений .......................................................... 42 1.5.4. Характеристика целевой функции ................................................... 44 1.5.5. Общая классификация задач оптимизации ....................................... 46 1.6. Основные подходы к решению задач оптимизации .............................. 48 1.6.1. Понятие оптимального решения задачи оптимизации ........................ 48 1.6.2. Проблема существования и единственности решения задач оптимизации ........................................................................................... 49 1.6.3. Понятие о методах и алгоритмах решения задач оптимизации ........... 53 1.6.4. Структура описания задач оптимизации .......................................... 56 Глава 2. Основные приемы практической работы в среде MS Excel ............. 58 2.1. Общая характеристика программы электронных таблиц MS Office Excel 2003 ..................................................................... 59 2.2. Основные элементы рабочего интерфейса MS Office Excel 2003 ............ 60 2.2.1. Главное меню ................................................................................ 61 2.2.2. Стандартная панель инструментов ................................................... 62 2.2.3. Панель инструментов Форматирование ............................................. 65 2.2.4. Строка ввода и редактирования формул ........................................... 67 2.2.5. Область рабочего листа ................................................................... 67 2.2.6. Область задач ................................................................................. 68 2.3. Основные приемы работы с электронной таблицей ............................... 69 2.3.1. Ввод и форматирование данных ....................................................... 71 2.3.2. Копирование и перенос данных ячеек и рабочих листов .................... 75 2.3.3. Ввод, редактирование и копирование формул ................................... 77 2.4. Основные виды диаграмм в программе MS Excel и приемы их построения ........................................................................... 87 2.4.1. Построение графика функции одной переменной .............................. 88 2.4.2. Построение графика функции двух переменных ................................ 93 ЧАСТЬ 11. ЗАДА ЧП НЕПРЕРЫВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ .................................... 101 Глава 3. Задачи нелинейного программирования ....................................... 103 3 .1. Общая характеристика задачи нелинейного программирования ........... 103 3 .1.1. Математическая постановка задачи нелинейного программирования .................................................................................. 104 3.1.2. Основные методы решения задач нелинейного программирования .................................................................................. 105 3.2. Задача о коробке максимального объема ............................................ 107 3.2.1. Математическая постановка задачи о коробке максимального объема ............................................................................. 107 3.2.2. Решение задачи о коробке максимального объема с помощью программы MS Excel ................................................................ 109 3.2.3. Аналитическое решение задачи о коробке максимального объема ............................................................................. 118 3 .3. Задача о пожарном ведре ................................................................. 119 3 .3 .1. Математическая постановка задачи о пожарном ведре .................... 119 3.3.2. Решение задачи о пожарном ведре максимального объема с помощью программы MS Excel ................................................................ 121 3.3.3. Аналитическое решение задачи о пожарном ведре ........................... 125 3.4. Задача о строительстве универсама ................................................... 126 3 .4 .1. Содержательная постановка задачи о строительстве универсама. ... 126 3.4.2. Математическая постановка задачи о строительстве универсама. ..... 127 3.4.3. Решение задачи о строительстве универсама с помощью программы MS Excel .............................................................. 128 3.5. Тестовые задачи нелинейного программирования .............................. 131 3.5.1. Задача оптимизации с целевой функцией Розенброка и ее решение с помощью программы MS Excel .......................................... 131 3.5.2. Задача оптимизации с целевой функцией Пауэлла и ее решение с помощью программы MS Excel .......................................... 134 3.5.3. Задача оптимизации с двумерной экспоненциальной целевой функцией и ее решение с помощью программы MS Excel ........................... 135 3.6. Упражнения .................................................................................... 137 3.6.1. Задача Тарталъи ........................................................................... 137 3.6.2. Задача Ферма ............................................................................... 138 3.6.3. Задача Кеплера ............................................................................ 138 3.6.4. Обобщенная задача Кеплера ......................................................... 138 3.6.5. Задача Евклида ............................................................................ 138 3.6.6. Обобщенная задача Евклида ......................................................... 138 3.6.7. ЗадачаЗенодора ........................................................................... 138 3.6.8. Задача Архимеда .......................................................................... 138 3.6.9. Задача Герона .............................................................................. 139 3.6.10. Задача Аполлония для эллипса .................................................... 139 3.6.11. Задача Аполлония для параболы .................................................. 139 3.6.12. Задача Аполлония для гиперболы ................................................. 139 3.6.13. Задача о вписанном прямоугольнике ............................................ 139 3 .6.14. Задача о вписанном треугольнике ............................................... 139 3.6.15. Задача о вписанном конусе .......................................................... 139 3.6.16. Задача о вписанном тетраэдре ..................................................... 139 3.6.17. Задача о треугольнике ................................................................ 139 3 .6.18. Задача об угле и точке .............................................................. 140 3.6.19. Задача о трех точках .................................................................. 140 3.6.20. Обобщенная задача о точках ...................................................... 140 Глава 4. Задачи линейного программирования ........................................ 141 4 .1. Общая характеристика задачи линейного программирования ............ 142 4.1.1. Математическая постановка задачи линейного программирования ................................................................................. 142 4.1.2. Основные методы решения задач линейного программирования ...... 145 4.2. Задача об оптимальной диете .......................................................... 146 4.2.1. Математическая постановка задачи об оптимальной диете .............. 147 4.2.2. Решение задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel .............................................................................. 148 4.3. Задача о производстве красок ......................................................... 154 4.3.1. Общая постановка задачи производственного планирования ........... 154 4.3.2. Математическая постановка задачи о производстве красок ............. 156 4.3.3. Графическое решение задачи о производстве красок ...................... 157 4.3.4. Решение задачи о производстве красок с помощью симплекс-метода ................................................................................... 165 4.4. Двойственная задача линейного программирования .......................... 175 4.4.1. Математическая формулировка двойственной задачи линейного программирования ................................................................................ 176 4.4.2. Математическая постановка двойственной задачи о красках ........... 177 4.4.3. Решение двойственной задачи о красках с помощью программы MS Excel ............................................................................... 178 4.5. Транспортная задача линейного программирования ........................... 181 4.5.1. Математическая постановка транспортной задачи ........................... 181 4.5.2. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel ............................................................................... 183 4.5.3. Решение транспортной задачи с помощью метода потенциалов ............................................................................... 188 4.6. Упражнения .................................................................................... 199 4.6.1. Задача о производстве клея .......................................................... 199 4.6.2. Задача об оптимальной диете ....................................................... 200 4.6.3. Транспортная задача .................................................................... 201 ЧАСТЬ 111. ЗАДА ЧП ДИСКРЕТНОЙ И КОМБИНАТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ..................................................................................... 203 Глава 5. Задачи целочисленного линейного программирования ................ 205 5.1. Общая постановка задачи целочисленного линейного программирования ................................................................................ 205 5 .1.1. Математическая постановка задачи целочисленного линейного программирования ................................................................................ 206 5 .1.2. Основные методы решения задач целочисленного линейного программирования ................................................................................ 209 5.2. Задача о рюкзаке ........................................................................... 211 5 .2.1. Математическая постановка одномерной задачи о рюкзаке ............ 211 5.2.2. Решение одномерной задачи о рюкзаке с помощью программы MS Excel .............................................................................. 212 5.2.3. Аналитическое решение одномерной задачи о рюкзаке .................. 219 5 .3. Задача об изготовлении часов ........................................................ 221 5 .3 .1. Математическая постановка задачи об изготовлении часов ........... 221 5.3.2. Графическое решение задачи об изготовлении часов ..................... 222 5.4. Задача о планировании перевозок пассажиров ................................. 227 5.4.1. Математическая постановка задачи о планировании перевозок пассажиров ........................................................................... 228 5.4.2. Решение задачи о планировании перевозок пассажиров с помощью программы MS Excel .............................................................. 229 5.5. Задача об изготовлении стержней .................................................... 232 5.5.1. Содержательная постановка задачи ............................................... 232 5.5.2. Математическая постановка задачи об изготовлении стержней ............................................................................................... 234 5 .5 .3. Решение задачи об изготовлении стержней с помощью программы MS Excel ............................................................................... 235 5.6. Транспортная задача целочисленного линейного программирования ................................................................................. 238 5.6.1. Математическая постановка транспортной задачи ........................... 239 5.6.2. Решение многопродуктовой целочисленной транспортной задачи с помощью программы MS Excel .................................................... 240 5. 7. Упражнения .................................................................................... 247 5. 7 .1. Задача о погрузке автомобиля ...................................................... 247 5.7.2. Задача об изготовлении обуви ........................................................ 248 5.7.3. Задача об изготовлении мебели ...................................................... 249 5.7.4. Многопродуктовая транспортная задача .......................................... 249 Глава 6. Задачи оптимизации с булевыми переменными ............................ 252 6.1. Общая постановка задачи оптимизации с булевыми переменными ....... 252 6.1.1. Математическая постановка задачи оптимизации с булевыми переменными ........................................................................ 253 6.1.2. Основные методы решения задач оптимизации с булевыми переменными .......................................................................................... 254 6.2. Задача о рюкзаке с булевыми переменными ....................................... 256 6.2.1. Математическая постановка одномерной задачи о рюкзаке с булевыми переменными ........................................................................ 256 6.2.2. Решение одномерной задачи о рюкзаке с булевыми переменными с помощью программы MS Excel ........................................... 257 6.2.3. Решение задачи о рюкзаке с помощью метода динамического программирования .................................................................................. 262 6.3. Задача водопроводчика .................................................................... 266 6.3.1. Математическая постановка задачи водопроводчика ........................ 266 6.3.2. Решение задачи водопроводчика с помощью программы MS Excel ................................................................................ 268 6.3.3. Аналитическое решение задачи водопроводчика .............................. 273 6.4. Задача о назначении ........................................................................ 275 6.4.1. Математическая постановка задачи о назначении ............................ 275 6.4.2. Решение задачи о назначении с помощью программы MS Excel ......... 277 6.4.3. Решение задачи о назначении с помощью венгерского метода ......... 283 6.5. Упражнения .................................................................................... 291 6.5 .1. Двумерная задача о рюкзаке ........................................................ 291 6.5.2. Задача водопроводчика ................................................................. 292 6.5.3. Задача о назначении ..................................................................... 293 Глава 7. Задачи оптимизации на графах .................................................. 294 7 .1. Общая характеристика задач оптимизации на графах ....................... 295 7 .1.1. Математическая постановка задачи оптимизации на графах ........... 295 7 .1.2. Основные методы решения задач оптимизации на графах .............. 296 7 .2. Задача о минимальном покрывающем дереве в графе ....................... 297 7.2.1. Математическая постановка задачи ............................................... 297 7.2.2. Решение задач о минимальном и максимальном покрывающем дереве в графе с помощью программы MS Excel ....................................... 300 7.2.3. Решение задачи о максимальном покрывающем дереве в графе с помощью программы MS Excel .............................................................. 305 7.2.4. Решение задач о максимальном и минимальном покрывающем дереве с помощью жадного алгоритма .................................................... 308 7.3. Задача о минимальном пути в графе ................................................ 313 7.3.1. Математическая постановка задачи .............................................. 313 7.3.2. Решение задачи о минимальном пути в ориентированном графе с помощью программы MS Excel ............................................................. 315 7.3.3. Решение задачи о минимальном пути в графе с помощью алгоритма пометок Дейкстры ................................................................. 321 7.4. Задача нахождения максимального пути в ориентированном графе ... 328 7.4 .1. Содержательная постановка задачи нахождения критического пути выполнения бизнес-процесса ......................................................... 328 7.4.2. Математическая постановка задачи .............................................. 331 7.4.3. Решение задачи нахождения критического пути в сетевом графе с помощью программы MS Excel ............................................................. 332 7.4.4. Решение задачи нахождения критического пути в сетевом графе с помощью алгоритма расстановки постоянных пометок .......................... 336 7.5. Задача о максимальном потоке в сети ............................................. 342 7.5.1. Математическая постановка задачи ............................................. 342 7.5.2. Решение задачи о максимальном потоке в сети с помощью программы MS Excel ............................................................................. 343 7.5.3. Решение задачи о максимальном потоке в сети с помощью алгоритма пометок Форда- Фалкерсона ................................................. 350 7.6. Упражнения ................................................................................. 356 7 .6.1. Задача о минимальном и максимальном покрывающем дереве в графе .............................................................................................. 356 7.6.2. Задача о минимальном и максимальном пути в ориентированном графе .................................................................... 356 7.6.3. Задача о максимальном потоке в сети .......................................... 357 Глава 8. Задачи комбинаторной оптимизации ........................................ 358 8.1. Общая характеристика задач комбинаторной оптимизации .............. 358 8.1.1. Математическая постановка задачи комбинаторной оптимизации ....................................................................................... 359 8.1.2. Основные методы решения задач комбинаторной оптимизации ..... 360 8.2. Задача коммивояжера ................................................................... 361 8.2.1. Математическая постановка задачи ............................................. 362 8.2.2. Решение задачи коммивояжера с помощью программы MS Excel ............................................................................................. 365 8.2.3. Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма динамического программирования ....................................................... 372 8.3. Задача о разбиении ...................................................................... 377 8.3.1. Содержательная постановка задачи ............................................ 377 8.3.2. Математическая постановка задачи ............................................ 378 8.3.3. Решение задачи о разбиении с помощью программы MS Excel ....... 380 8.3.4. Решение задачи о разбиении с помощью алгоритма динамического программирования ....................................................... 388 8.4. Упражнения ................................................................................. 394 8.4.1. Задача коммивояжера ................................................................ 395 8.4.2. Задача о разбиении ................................................................... 395 ЧАСТЬ IV. ЗАДА ЧП МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ................................................................................... 397 Глава 9. Задачи многокритериального линейного и целочисленного программирования .................................................. 399 9 .1. Общая характеристика задач многокритериальной оптимизации .... 399 9 .1.1. Математическая постановка задачи многокритериальной оптимизации ...................................................................................... 400 9.1.2. Основные подходы и методы решения задач многокритериальной оптимизации ....................................................... 404 9 .1.3. Метод уступок для решения задач многокритериальной оптимизации ...................................................................................... 407 9 .1.4. Метод минимального отклонения от идеальной точки ................. 410 9.2. Задача об оптимальной диете с двумя целевыми функциями ........... 412 9 .2.1. Математическая постановка задачи и подходы к ее решению ...... 412 9.2.2. Решение многокритериальной задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel методом уступок .................................. 413 9.2.3. Решение двухкритериальной задачи о диете с помощью программы MS Excel методом минимального отклонения ........................ 421 9.2.4. Решение двухкритериальной задачи о диете с помощью программы MS Excel методом аддитивной свертки ................................. 426 9.3. Задача о производстве красок с двумя целевыми функциями .......... 428 9.3.1. Математическая постановка двухкритериальной задачи о производстве красок ........................................................................ 429 9.3.2. Графический способ построения множества Парето для двухкритериальной задачи о производстве красок .......................... 430 9.4. Двухкритериальная задача о рюкзаке ........................................... 436 9.4.1. Математическая постановка двухкритериальной задачи о рюкзаке .......................................................................................... 436 9.4.2. Решение двухкритериальной задачи о рюкзаке с помощью программы MS Excel методом усrупок ................................................... 437 9.4.3. Решение двухкритериальной задачи о рюкзаке с помощью программы MS Excel методом минимального отклонения ........................ 443 9.4.4. Решение двухкритериальной задачи о рюкзаке с помощью программы MS Excel методом аддитивной свертки .................................. 447 9.5. Упражнения ................................................................................. 449 9.5.1. Двухкритериалъная задача о производстве клея .......................... 450 9.5.2. Двухкритериалъная задача о погрузке автомобиля ....................... 450 9.5.3. Двухкритериалъная задача об изготовлении обуви ....................... 451 Глава 10. Задачи многокритериальной булевой оптимизации .................. 452 1 О .1. Общая характеристика задач многокритериалъной оптимизации с булевыми переменными ..................................................................... 452 10.2. Задача водопроводчика с двумя целевыми функциями ................... 453 10.2.1. Математическая постановка двухкритериалъной задачи водопроводчика ................................................................................... 454 10.2.2. Решение двухкритериалъной задачи водопроводчика с помощью программы MS Excel методом уступок .................................... 455 10.2.3. Решение двухкритериалъной задачи водопроводчика с помощью программы MS Excel методом минималъного отклонения .......................... 461 10.2.4. Решение двухкритериалъной задачи водопроводчика с помощью программы MS Excel методом аддитивной свертки .................. 465 10.3. Двухкритериалъная задача о назначении ....................................... 468 10.3.1. Математическая постановка двухкритериалъной задачи о назначении ........................................................................................ 468 10.3.2. Решение двухкритериалъной задачи о назначении с помощью программы MS Excel методом уступок .................................... 470 10.3.3. Решение двухкритериалъной задачи о назначении с помощью программы MS Excel методом минималъного отклонения .......................... 477 10.3.4. Решение двухкритериалъной задачи о назначении с помощью программы MS Excel методом аддитивной свертки ................................... 481 10.4. Двухкритериалъная задача о наборе высоты и скорости .................. 484 10.4.1. Содержательная постановка индивидуалъной задачи о наборе высоты и скорости летательным аппаратом ............................... 484 10.4.2. Математическая постановка двухкритериалъной задачи о наборе высоты и скорости ................................................................... 485 10.4.3. Решение двухкритериалъной задачи о наборе высоты и скорости с помощью программы MS Excel методом уступок .................... 487 10.4.4. Решение двухкритериалъной задачи о наборе высоты и скорости с помощью программы MS Excel методом минималъного отклонения ..................................................................... 494 10.4.5. Решение двухкритериалъной задачи о наборе высоты и скорости с помощью программы MS Excel методом аддитивной свертки ............................................................................... 499 10.5. Упражнения .................................................................................. 502 1 О .5 .1. Двухкритериалъная задача о рюкзаке ...................................... 502 10.5.2. Двухкритериалъная задача водопроводчика ................................. 503 10.5.3. Двухкритериалъная задача о назначении ..................................... 504 ЧАСТЬ V. ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ В СРЕДЕ EXCEL ...................................................................................... 505 Глава 11. Алгоритмы и программы решения задач оптимизации на графах ............................................................................................. 507 11.1. Особенности разработки пользовательских программ в среде MS Excel .................................................................................... 508 11.1.1. Среда и язык программирования Visual Basic For Applications ......... 508 11.1.2. Создание пользовательской функции для вычисления двумерной экспоненциалъной функции ................................................... 517 11.1.3. Построение графика функции двух переменных ........................... 520 11.1.4. Программа изображения структуры неориентированного графа. .... 523 11.2. Минималъное покрывающее дерево графа и его графическое изображение ........................................................................................ 529 11.2.1. Программа нахождения минималъного покрывающего дерева графа ........................................................................................ 530 11.2.2. Программа изображения минималъного покрывающего дерева графа ........................................................................................ 534 11.3. Максималъное покрывающее дерево графа и его графическое изображение ........................................................................................ 539 11.3 .1. Программа нахождения максималъного покрывающего дерева графа ........................................................................................ 539 11.3.2. Программа изображения максималъного покрывающего дерева графа ........................................................................................ 542 11.4. Путь минималъной длины и его графическое изображение .............. 546 11.4.1. Программа нахождения минималъного пути в ориентированном графе ..................................................................... 546 11.4.2. Программа изображения минималъного пути в ориентированном графе ..................................................................... 551 11.5. Путь максималъной длины и его графическое изображение ............ 556 11.5.1. Программа нахождения критического пути в сетевом графе ......... 556 11.5.2. Программа изображения критического пути в сетевом графе ....... 559 11.6. Упражнения ................................................................................ 565 11.6.1. Максималъный поток в сети ....................................................... 565 11.6.2. Графическое изображение максималъного потока в сети .............. 565 Глава 12. Алгоритмы и программы решения задач комбинаторной оптимизации ................................................................ 566 12.1. Задача коммивояжера и ее решение с помощью VBA ..................... 566 12.1.1. Алгоритм приближенного решения задачи коммивояжера ........... 567 12.1.2. Программа приближенного решения задачи коммивояжера ......... 569 12.1.3. Программа изображения полного замкнутого пути в ориентированном графе ..................................................................... 575 12.2. Задача о разбиении и ее решение с помощью VBA .......................... 580 12.2.1. Алгоритм приближенного решения задачи о разбиении ................ 580 12.2.2. Программа приближенного решения задачи о разбиении .............. 584 12.3. Использование программ на языке VBA в книгах MS Excel ................ 591 12.3.1. Экспорт и импорт модулей с текстами программ на VBA ................ 591 12.3.2. Использование шаблонов с текстами программ на VBA ................ 592 12.3.3. Создание и использование надстроек пользователя с текстами программ на VBA ................................................................ 594 12.4. Внешние программы и их использование в среде MS Excel ........... 595 12.4.1. Разработка внешней функции в среде Borland Delphi и ее использование в среде MS Excel ................................................ 596 12.4.2. Разработка внешней функции в среде MS Visual Studio .NET и ее использование в среде MS Excel ................................................ 603 12.4.3. Разработка функции нахождения минимального пути в среде Borland Delphi и ее использование в среде MS Excel ................. 611 12.5. Упражнения .............................................................................. 618 12.5.1. Модификация программы приближенного решения задачи коммивояжера ..................................................................................... 618 12.5.2. Модификация программы приближенного решения задачи о разбиении .......................................................................................... 618 12.5.3. Разработка программы нахождения максимального покрывающего дерева ............................................................................... 619 12.5.4. Разработка программы нахождения критического пути ........................ 619 ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................ 621 Приложение 1. Основные понятия теории множеств, теории графов и комбинаторного анализа .............................................................................. 623 Множество и способы его задания ................................................................... 623 Основные теоретико-множественные операции ............................................... 629 Булеан или множество всех подмножеств ........................................................ 636 Отношения и способы их задания .................................................................... 637 Операции над бинарными отношениями ......................................................... 647 Отображение ............................................................................................... 649 Свойства бинарных отношений, заданных на одном базисном множестве ....... 650 Некоторые специальные виды бинарных отношений, заданных на одном базисном множестве ..................................................................... 652 Отношение строгого частичного порядка ....................................................... 653 Отношение толерантности ............................................................................. 653 Отношение эквивалентности ............................................................................ 654 Перестановка ................................................................................................... 655 Сочетание ......................................................................................................... 656 Размещение ...................................................................................................... 656 Приложение 2. Назначение операций главного меню программы электронных таблиц MS Office Excel 2003 ............................................................ 658
[only-soft.org].t187358.torrent
Торрент:
Зарегистрирован
[ 2023-11-01 18:40 ]
7 KB
Статус:
√проверено
Скачан:
1 раз
Размер:
21 MB
Оценка:
(Голосов: 0)
Поблагодарили:
0
Леоненков А. В. - Решение задач оптимизации в среде MS Excel [2005, PDF, RUS] скачать торрент бесплатно и без регистрации
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете голосовать в опросах Вы не можете прикреплять файлы к сообщениям Вы можете скачивать файлы